多集合反向构造问题
多集合反向构造问题，在近年国考和省考中均有所涉及，在刚接触这类题型的时候会摸不着头脑：感觉题目看起来有些像容斥问题，但与容斥问题的问法却不同;感觉像最不利构造问题，但在题型匹配上和普通的最不利问题的特征却不符。这类多集合反向构造问题看似很复杂，但只要掌握了其特点、原理及方法，其实是可以做到快速解题的。接下来我们一起来学习一下多集合反向构造。
【题目特征】都……至少……
这类题很明显的特征就是问题中有“都……至少……”或类似意思的表达。
【解题方法】
结合一道例题看一下：
【例】阅览室有100本杂志，小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有( )本。
A.5 B.10
C.15 D.30
【答案】A
【分析】本题是标准的“多集合反向构造”问题，出现了“都……至少……”的题目特征。
总共有100本杂志，所以三个人借阅的杂志中可能会有交叉，题目问三个人都借阅过的杂志最少有多少本，我们从正面思考有些复杂，可以尝试从反面解题。“最少”的反面是最多，“共同借阅过”的反面是三人都没有借阅过，要使“三人共同借阅过的杂志最少”的反面也就是使三人都未借阅过的杂志最多。所以这道题实际上我们求的正面=总量-反面，即三人共同借阅过的杂志最少数量=总数100-三人都没有借阅过的杂志最多数量。
那么如何使三人都没有借阅过的杂志最多?100本杂志中，小赵借阅75本，那么小赵未借阅的有25本，同理，小王未借阅有30本，小刘未借阅有40本。要使三人都未借阅过的杂志最多，那么三个人未借阅的杂志都是相互独立不重复的，所以三人都未借阅的杂志最多为25+30+40=95本。三人共同借阅的杂志最少有100-95=5本。
【方法总结】
这类题找到题型判定的关键字眼，只要轻松三步就能解决问题了。
第一步：反向。找到题目中的反面情况。
比如问的是“共同借阅过的杂志最少”，反面是“都没有借阅过的杂志数最多”，分别求出没有借阅的数量是25、30、40本。
第二步：加和。所有反面情况加和。
比如三人都未借阅的杂志最多为25+30+40=95本。
第三步：做差。总数减去所有反面情况加和。
比如三人共同借阅的杂志最少有100-95=5本。
通过例题的学习，多集合反向构造问题是不是很简单?接下来我们通过两道例题再巩固练习一下：
【例1】(2018广东)某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行使用情况调查，在接受调查的1000人中，有68%的人使用过甲软件，有87%的人使用过乙软件，有75%的人使用过丙软件，有82%的人使用过丁软件。那么，在这1000人中，使用过全部四款手机软件的至少有( )人。
A. 120 B. 250
C. 380 D. 430
【答案】A
【解析】首先判别题型，问题为“使用过全部四款手机软件的至少有多少人?”，出现了“都……至少……”的题目特征，判定为多集合反向构造问题。解题按照三步走“反向-加和-做差。
第一步：反向。没使用过甲软件有1-68%=32%;没使用过乙软件的有1-87%=13%;没使用过丙软件的有1-75%=25%，没使用过丁软件的有1-82%=18%。
第二步：加和。未使用过甲乙丙丁四款软件的人最多有32%+13%+25%+18%=88%。
第三步：做差。全部四款软件都使用过的最少有1-88%=12%。
那么四款软件都使用过的人至少为1000×12%=120人。
【例2】(2019国考省部级)有100名员工去年和今年均参加考核，考核结果分为优、良、中、差四个等次。今年考核结果为优的人数是去年的1.2倍。今年考核结果为良及以下的人员占比比去年低15个百分点。问两年考核结果均为优的人数至少为多少人?
A.55 B.65
C.75 D.85
【答案】B
【解析】首先判别题型，问题为“问两年考核结果均为优的人数至少为多少人?”，出现了“都……至少……”的题目特征，解题三步走。
第一步：反向。求出两年考核结果不为优的人数。
本题中未直接给出人数。根据题意“今年考核结果为优的人数是去年的1.2倍”，设去年考核为优有x人，今年为1.2x人。题中“今年为今年考核结果为良及以下的人员占比比去年低15个百分点”，则今年考核结果为优的比去年高了15个百分点，两年的总人数均为100，即今年考核结果为优的增加了100×15%=15(人)。即1.2x-x=15，解出x=75，则去年为优的有75人，今年为优的有90人。
那么，去年考核不为优的有25人，今年不为优的有10人。
第二步：加和。两年考核结果不为优的人数最多为25+10=35人。
第三步，做差。两年考核结果均为优的人数至少为100-35=65人。
在了解了多集合反向构造问题的解题方法后，是否感到这类题目不再那么可怕了?其实只要识别了题目，步骤很简单，但一定要记得结合题目具体要求，灵活解题哦!
